1CMR: x2+y2+8\(\ge\) xy+2x+2y
2 Cho a+b+c=6 . Cmr: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{3}{4}\)
3 Cho x+y+z+xy+yz+zx=6. Cmr: x2+y2+z2 \(\ge3\)
b1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\).CMR \(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)
b2:Cho x,y,z duong.CMR \(\frac{xy}{x^2+yz+zx}+\frac{yz}{y^2+zx+xy}+\frac{zx}{z^2+xy+yz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
vì có 1 chút nhầm lẫn nên giờ mk mới ra mong bạn thứ lỗi
bài 1
\(\Leftrightarrow\frac{4a^4}{2a^3+2a^2b^2}+\frac{4b^4}{2b^3+2c^2b^2}+\frac{4c^4}{2c^3+2a^2c^2}\)
\(\ge\frac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{2a^3+2b^3+2c^3+2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2}\)
\(\ge\frac{36}{a^4+a^2+b^4+b^2+c^4+c^2+2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2}\)
\(=\frac{36}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+a^2+b^2+c^2}=3\ge a+b+c\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 2 là chuyên Bình Thuận, 2016-2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\(\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Tương tự: \(\frac{yz}{y^2+zx+xy}\le\frac{xy\left(z^2+zx+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\);\(\frac{zx}{z^2+xy+yz}\le\frac{zx\left(x^2+xy+yz\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Cộng từng vế của 3 BĐT trên. ta được:
\(VT\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Cho a,b,c>0, \(x^2+y^2+y^2=3\)
CMR: \(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xy}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{yz}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=\frac{3x}{y+z+1}\)
Tương tự rồi cộng lại ta có:
\(VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)\)
\(\ge\frac{3\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\sqrt[3]{yz}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=\frac{3x}{y+z+1}3yz≤3y+z+1⇒3yzx≥3y+z+1x=y+z+13x
Tương tự rồi cộng lại ta có:
VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)VT≥3(y+z+1x+x+z+1y+x+y+1z)
=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)=3(xy+yz+xx2+xy+yz+yy2+yz+xz+zz2)
\ge\frac{3\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}≥2(xy+yz+xz)+x+y+z3(x4+y4+z4)≥x2+y2+z2(x2+y2+z2)2
=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP=x2+y2+z2≥xy+yz+xz=VP
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1x=y=z=1
1 ) Cho a,b,c >0 và abc= 1.CMR:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
2 ) Cho x,y,z > 0 và x+y+z=3
CMR : \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
a/ \(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\sqrt{c}}\)
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ \(VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\)
\(VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Bài 1 :
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm ta có :
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge\left(\sqrt{\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\right)+\left(\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)+\left(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(+3\sqrt[6]{abc}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Bài 2 :
Ta có :
\(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)
( Dấu " = " \(\Leftrightarrow x^2=yz\) )
Theo đề bài ta có : \(x+y+z=3\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)
\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)
Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự ta cũng có : \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}};\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên , ta được :
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
a) Cho x, y, z là các số dương, CMr: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z\)
b) Cho a, b, c là b số dương. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\) ; \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\); \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
a. \(\)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương \(\frac{xy}{z}\) và \(\frac{yz}{x}\), ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\) (1)
Hoàn toàn tương tự: \(\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\) và \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Cho x,y,z >0 t/m x2+y2+z2=3.
C/m \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)
\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)
Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$
Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$
BĐT $(*)$ trở thành:
$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$
$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$
$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$
Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$
Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Cho x;y;z>0;\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) . CMR:\(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{y^2+2z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{z^2+2x^2}}{zx}\ge\sqrt{3}\)
cho a,b,c>0. Đặt \(x=a+\frac{1}{b}-1;y=b+\frac{1}{c}-1;z=c+\frac{1}{a}-1\) .
Cmr: \(xy+yz+zx\ge3\)
Cho x;y;z>0 thỏa mãn xyz=1.CMR \(A=\frac{1}{x+y+z}-\frac{2}{xy+yz+zx}\ge\frac{-1}{3}\)
Ta có
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(=>x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(=>\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(=>\frac{1}{\left(x+y+z\right)}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(=>A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)
đặt
\(\frac{1}{xy+yz+zx}=t\)
\(=>A\ge3t^2-2t\)
mà \(\left(3t-1\right)^2\ge0=>9t^2-6t+1\ge0=>3t^2-2t+\frac{1}{3}\ge0\Rightarrow3t^2-2t\ge-\frac{1}{3}\)
\(=>A\ge-\frac{1}{3}\)(dpcm)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
tinh tuoi con gai bang 1/4 tuoi me , tuoi con bang 1/5 tuoi me . tuoi con gai cong voi tuoi cua con trai
la 18 tuoi . hoi me bao nhieu tuoi ?
Cho a,b,c>0; a+b+c=3/4. Tìm min
\(M=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(M=5\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)+2.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(M\ge5.\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=5.\frac{9}{16}+\frac{\frac{9}{16}}{3}+2.\frac{9}{\frac{4.3}{4}}=9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/4 ( cái này bạn tự giải rõ nhé)
tự hỏi tự trả lời ?
Lại còn " cái này bn tự giải rõ nhé " :v